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La Geometria applicata allo stracquo

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di Rita Bosso

mappa1

.

Problema
Assegnata la superficie di un’isola, si determinino forma e dimensioni in modo da rendere massimo lo stracquo.

Svolgimento
Superfici equiestese non hanno lo stesso perimetro e, viceversa, figure isoperimetriche non hanno la stessa area; i bambini faticano ad accettare questa evidenza, riferisce Emma Castelnuovo, innovatrice nella didattica della matematica, morta qualche settimana fa:

E allora, sempre materiale da niente, a un certo punto presento uno spago. Uno spago messo a forma di rettangolo. Benissimo.  A nessuno gliene importa niente, ma, appena faccio così si muove. Dico: «Che cosa succede del perimetro e dell’area?» Beh, il perimetro, è evidente, lo spago è sempre lo stesso, rimane uguale. E l’area? In tutti i paesi del mondo, dove ho lavorato, si risponde così: «L’area, nel passaggio da qua a qua, non può cambiare: perché come potrebbe l’area uscire da un contorno?».
Il tutto ci fa pensare. La  stessa cosa la dice Galileo: Galileo dice che molte persone pensano che se due piazze hanno lo stesso contorno per forza devono contenere la stessa area.

Idem. 

Il problema posto ricorda quello che dovette affrontare Didone, in fuga da Tiro, allorchè chiese al re Jerba di concederle un pezzo di terra su cui avrebbe fondato Cartagine; per tutta risposta ricevette una pelle di bue (birsa, in greco) e l’invito a prendersi tutta la terra che sarebbe stata capace di recintare con essa.
Accortamente, Didone sfruttò la delimitazione offerta dalla costa, quindi tagliò la pelle in strisce sottili e le dispose lungo una semicirconferenza.

Giunsero in questi luoghi, ov’or
sorger la gran cittade e l’alta rocca
della nuova Carthago, che dal fatto
Birsa nomassi, per l’astuta merce
che, per fondarla, fèr di tanto sito
quanto cerchiar di bue potesse un tergo.
[Eneide libro I, versi 365-369]

i porti di cartagine
Didone aveva dunque risolto il classico problema isoperimetrico: determinare la figura piana di area massima avendo a disposizione un perimetro fissato.

Lo stracquo, invece, richiede di determinare, tra le figure equiestese, quella di perimetro massimo.
Limitiamoci a considerare le figure geometriche piane più note, delle quali abbiamo imparato a calcolare area e perimetro qualche anno fa, alle elementari.
Se l’isola avesse forma di triangolo isoscele, allora la soluzione peggiore – ossia il triangolo di perimetro minimo – sarebbe il triangolo equilatero; una linea di costa più lunga si ha in ogni altro caso; ad esempio, con altezza doppia della base.
Tra le isole rettangolari,  il perimetro minimo compete al quadrato; quanto più la forma si allunga, tanto più il perimetro aumenta e, di conseguenza, lo stracquo migliora.
Dunque, non si facciano illusioni Ischia (di forma grosso modo quadrata), Capri (una specie di trapezio), Lipari (ellittica): la geometria le relega nelle ultime posizioni della classifica di isole dello stracquo.

Le ” isole” rappresentate in figura hanno la stessa superficie, 9,8 km2 – che coincidenza!- ma i perimetri variano considerevolmente. A parità di superficie, Ponza ha 41 km di coste, quasi il quadruplo di ciò che avrebbe se fosse un cerchio privo di cale e calette.

 isole

 

colore forma dimensioni perimetro
rosa Cerchio Raggio=1,8 km 11,1 km
viola Triangolo equilatero Lato= 4,7 km 14,1 km
azzurro Quadrato Lato= 3,1 km 12,4 km
giallo Rettangolo Base=4,4 km, altezza=2,2 km 13,2 km
verde Lunula Cateto triangolo=4,4 km 23,6 km

 

Didone e lo stracquatore hanno esigenze opposte; la prima, con un perimetro assegnato, deve racchiudere la superficie massima; l’altro, con una superficie assegnata, deve massimizzare la costa: più lunga è la costa, maggiore sarà il materiale che vi si deposita. Lei cercherà il contorno più regolare possibile; lui vorrà cale, calette, punte, protuberanze in quantità, in modo da aumentare la lunghezza della costa.
Se ad un tratto di costa rettilineo si sostituiscono un’insenatura e una sporgenza semicircolari, la superficie non cambia ma la lunghezza del litorale aumenta di oltre il 50%, con conseguente incremento del materiale di stracquo intercettato.

costa1
La differenza la fanno le tangenti, ma non pensate a male: in ogni punto della curva che delimita il territorio di Didone si può tracciare la retta tangente (esclusi i due estremi del diametro); viceversa, una curva frastagliata non ammette rette tangenti nelle “punte”.

E’ sicuramente vero che Ponza è l’isola dello stracquo per ragioni storiche: il popolamento e il disboscamento sono stati fenomeni simultanei e paralleli, giacché l’esigenza di disporre di terreno coltivabile indusse i colonizzatori a disboscare e terrazzare; di conseguenza venne a mancare la legna. E’ pur vero che c’erano, relativamente a portata di mano, i boschi di Palmarola e di Zannone, ma la raccolta e il trasporto non erano scevri da rischi, come è stato ricordato da Mimma Califano, da Sandro Vitiello, da Gianco. Lo stracquo consentiva di rifornirsi di legname – prevalentemente- in modo gratuito e relativamente comodo.

Di certo lo stracquo è pratica da economia povera; tuttavia in altre isole, ugualmente povere, non era diffusa, come confermano il sardo Ignazio Fresu e la ventotenese Cristina Marotta, due artisti intervenuti a Lo Stracquo: l’arte che viene dal mare.

Dunque, la geometria concorda con la storia: Ponza è l’isola dello stracquo.
Come volevasi dimostrare.

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